\documentclass[a4paper,oneside]{amsart}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\title{LinAlg1 UE WS03/04}
\author{Clemens Fruhwirth}
\maketitle
\section*{1.1.1}
a)

$P(x): \forall y: y<x$

$\neg P(x): \exists y: y>x$

$A: \exists x: P(x) $

$\neg A: \neg (\exists x: P(x)) \rightarrow \forall x: \neg P(x)   $

$B: P(0)$

$\neg B: \neg P(0) \rightarrow \exists y: y>0                     $

$C: x = 1 \rightarrow x^2 + x + 1 = 0$

$\neg C: x = 1 \wedge x^2 + x + 1 \neq 0$

$D: x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow x = 1                            $

$\neg D: x^2 + x + 1 = 0 \wedge x \neq 1$

b) Da alle Bedingungen f\"ur die Implikationen falsch sind, sind alle Aussagen wahr.
Kontrapositionen zu $A \rightarrow B$ ist: $\neg A \rightarrow \neg B$
\section*{1.1.2}
40, denn nur eine gerade Anzahl erm\"oglich ein stehts abwechselndes
Wahrheit/L\"uugner Muster, dass notwendig ist wenn alle auf die Frage ist ihr linker
Nachbar ein Luegner mit Ja antworten sollen.

\section*{1.1.3}
a) Fuehrt der linke Weg nach Ansicht deines Bruders nach Oberstockstall?

Eine falsche Antwort impliziert dass der linke Weg nach Oberstockstall fuehrt.

b)
Antwort auf die ersten Frage bei m\"oglicher Anordnung der Personen P1,P2,P3.

w = Wahrheitsprechender
h = Schwankender/Halbwahrheit
f = L\"ugner

\begin{tabular}{l|l|l|l}
P1 & P2 & P3 & Antwort \\
\hline
w & h & f & ja \\
w & f & h & nein \\
h & w & f & ja/nein  \\
h & f & w & ja/nein \\
f & w & h & nein \\
f & h & w & ja
\end{tabular}

Aufgeschl\"usselt nach Antworten ja/nein:

Ja:

\begin{tabular}{l|l|l|l}
P1 & P2 & P3 & Antwort \\
\hline
w & h & f & ja \\
h & w & f & ja/nein  \\
h & f & w & ja/nein \\
f & h & w & ja
\end{tabular}

Nein:

\begin{tabular}{l|l|l|l}
P1 & P2 & P3 & Antwort \\
\hline
w & f & h & nein \\
h & w & f & ja/nein  \\
h & f & w & ja/nein \\
f & w & h & nein \\
\end{tabular}

Jetzt sieht man, dass im Ja-Fall an Stelle 3 nie der Schwankende sitzt, im Nein-Fall nie der
Schwankende an zweiter Stelle. Diesen fragt man dann analog zu a):
''F\"uhrt nach Ansicht des Bruders, der hier genauso lange wohnt wie du, der linke
Weg nach Oberstockstall''.

\section*{1.2.1}
F\"ur A = B muss gelten, $A \subseteq B \wedge B \subseteq A$ und um zu zeigen, dass $A \subseteq B$
muss $x \in A \rightarrow x \in B$.

a)

Behauptung: $\bigcup (A_i | i \in \mathbb{N}) = \mathbb{Z}$

Beweis: $\bigcup (A_i | i \in \mathbb{N}) \subseteq \mathbb{Z}$ gilt Aufgrund der Angabe f\"uer
jedes $A_i$ gilt $A_i \subseteq \mathbb{Z}$.

F\"ur $\mathbb{Z} \subseteq \bigcup (A_i | i \in \mathbb{N})$ gen\"ugt es Aufgrund der
Vereinigung zu zeigen, dass es ein $A_j$ gibt f\"ur das gilt
$x \in \mathbb{Z} \rightarrow x \in A_j$. Das ist leicht gefunden, wenn man steht f\"ur
$A_j$ $A_{|x|}$ nimmt. D.h. $x \in \mathbb{Z} \rightarrow x \in A_{|x|}$

b) $\bigcap (A_i | i \in \mathbb{N}) = \{0\}$

c) $\bigcup (A_i | i \in 2\mathbb{N} + 1) = \mathbb{Z}$

d) $\bigcap (A_i | i \in 2\mathbb{N} + 1) = \{-1,0,1\}$

\section*{1.2.2}
a)

$J = \{ x \in \mathbb{R} | x > 1 \}$

$j \in J$

$K_j = \{(x_1,x_2) | (x_1 - j)^2 +x_2^2 < j^2 \}$

$H = \{(x_1,x_2) | x_1 > 0 \}$

Zu zeigen ist: $\bigcup K_j = H$. D.h. $\bigcup K_j \subseteq H \wedge H \subseteq \bigcup K_j$

FIXME

b)

\section*{1.3.1}
(\{1\}\{2\}\{3\},
\{12\}\{3\},
\{13\}\{2\},
\{1\}\{23\},
\{123\})

Es gibt 5.

\section*{1.3.2}
a)

$xRy \rightarrow yRx $

$xRy \wedge yRz \rightarrow xRz   $

(1) in (2)

$yRx \wedge yRz \rightarrow xRz    $

b) {1,2,3,4}
1R2 2R1 1R3 3R1 2R3 3R2

oder in worten blutsverwandt.
\section*{1.3.3}

\section*{1.3.4}

$\alpha$:
reflexiv: $\forall a: (a,b)R(a,b)$ gilt weil $ab=ba$

symmetrisch: $(a,b)R(c,d) \rightarrow (c,d)R(a,b)$ gilt weil $ad=bc \rightarrow cb=da$

transitiv: $(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \rightarrow (a,b)R(e,f)$ gilt weil

\begin{eqnarray*}
(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \rightarrow \\
ad = bc \wedge cf = de \rightarrow  \\
ad = bc \wedge c = \frac{de}{f} \rightarrow \\
ad = b\frac{de}{f} \rightarrow \\
a = b \frac{e}{f} \rightarrow \\
af = be \rightarrow \\
(a,b)R(e,f)
\end{eqnarray*}

Bijektion FIXME

$\beta$:
reflexiv: $\forall a: (a,b)R(a,b)$ gilt weil $a + b= b + a$

symmetrisch: $(a,b)R(c,d) \rightarrow (c,d)R(a,b)$ gilt weil $a + d = b + c \rightarrow c + b = d + a$

transitiv: $(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \rightarrow (a,b)R(e,f)$ gilt weil

\begin{eqnarray*}
(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \rightarrow \\
a + d = b + c \wedge c + f = d + e \rightarrow  \\
a + d = b + c \wedge c = d + e - f  \rightarrow \\
a + d = b + d + e - f \rightarrow \\
a = b + e - f \rightarrow \\
a + f = b + e \rightarrow \\
(a,b)R(e,f)
\end{eqnarray*}



\section*{1.3.5}
a)
reflexiv: $a_{ii} = 1$ oder in worten: matrix enth\"alt die einheitsmatrix.

symmetrisch: $(a_{ij} = 1 \rightarrow a_{ji} = 1)$ oder in worten:
 matrix gespiegelt an der hauptachse.

transitiv:

b)
$\alpha:$ falsch weil nicht reflexiv

$\beta:$ wahr

$\gamma:$ wahr

$\sigma: $ falsch weil nicht symmetrisch.

$\epsilon: $ wahr

$\zeta: $ falsch weil nicht ref., sym., trans.


\section*{1.4.1}

$\alpha$: Eine Abbildung ist f\"ur jedes Element der Definitionsmenge definiert.
Die Abbildungvorschrift ist jedoch im Punkt $x = -1$ nicht definiert.

Modifikation: $f: \mathbb{R}\backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R}$

$\beta$: Die Menge der rationalen Zahlen enth\"alt alle Zahlen mit endlicher Dezimalstellen
entwicklung. $\sqrt{2}$ ist aber keine solche.

Modifikation: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$\gamma:$

\section*{1.4.2}

a) injektiv

c) bijektiv

d) F\"ur $|M|=1$ bijektiv. Sonst surjetiv.

g) nichts.

\section*{1.4.4}
Es gibt zwei unterschiedliche Abbildungen $g, g'$ so dass $g \circ f = g' \circ f = id_\mathbb{N}$n

\begin{eqnarray*}
g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}: x \mapsto
\begin{cases}
\sqrt x & \text{wenn $\exists n \in \mathbb{N}, x=n^2$} \\
0 &\text{sonst}
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
g': \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}: x \mapsto
\begin{cases}
\sqrt x & \text{wenn $\exists n \in \mathbb{N}, x=n^2$} \\
4711 &\text{sonst}
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Die Abbildung h existiert nicht, da die Umkehrfunktion $f^{-1}$ n\"amlich $\sqrt xn$ zuerst auf
$\mathbb{R}$ abbilden m\"usste damit dies m\"oglich ist.

\section*{1.4.5.}

Satz: Ist $a=b$ so ist stets $f(a) = f(b)$

$\alpha:$ Zu Beweisen: $f(a)= f(b) \rightarrow a=b$ wenn $g(f(a)) = g(f(b)) \rightarrow a = b$

$f(a) = f(b) \overset{\text{laut Satz.}}{\rightarrow} g(f(a)) = g(f(b)) \rightarrow a=b$

\section*{1.5.1}

Eine Wohlordnung ist eine Totalordnung dass f\"ur jede beliebige Teilmenge eine minimalstes Element
besitzt. Um zu beweisen dass $\Omega_1$ eine Totalordnung ist muss zuerst bewiesen werden
dass auch eine Halbordnung vorliegt.

reflexiv: $\forall a: aRa$ gilt weil $a \leq a \Leftrightarrow a < a \vee a = a$ und $a = a$ stets wahr.

antisymmetrisch: $\forall a,b: aRb \wedge bRa \rightarrow a = b$ FIXME

transitiv: $aRb \wedge bRc \rightarrow aRc$

Zu Beweisenn: $(a < b \vee a=b) \wedge (b < c \vee b=c) \rightarrow (a < c \vee a = c)$

Trivial f\"ur $a=b \wedge b=c$ oder $a=b \wedge b<c$ oder $a<b \wedge b=c$.

F\"ur $a<b \wedge b<c \rightarrow a<c$ gilt offensichtlich da wenn \\
$p(w) = a_0 w^{n_0} + .. a_k w^{n_k}$,                             \\
$q(w) = b_0 w^{m_0} + .. b_l w^{m_l}$,                             \\
$r(w) = c_0 w^{o_0} + .. c_i w^{o_i}$,                             \\

F\"ur ($n_k<m_l$ und $m_l < o_i$) oder ($n_k<m_l$ und $m_l = o_i$)
oder ($n_k=m_l$ und $m_l < o_i$) gilt offensichtlich $n_k < o_i$ und damit $a \leq c$.
F\"ur $n_k=m_l$ und $m_l = o_i$, muss gelten $a_k<b_l$ und $b_l < c_i$. Weiters
folgt daraus $a_k < c_i$ und deswegen gilt auch $a \leq c$.

Die Eigenschaft der Totalordnung ergibt sich f\"ur unterschiedliche Elemente daraus, dass
$\langle \mathbb{N}_0, < \rangle$ eine Totalordnung bildt und somit jeder in der Relationsdefinition
angef\"uhrte Vergleich $<$ definiert ist. Gleiche Elemente sind ohnedies in der Relation
enthalten.

Bleibt zu zeigen dass $\Omega_1$ eine Wohlordnung ist. Das ergibt sich ebenfalls daraus dass
$\langle \mathbb{N}_0, < \rangle$ die Eigenschaft eine Wohlordnung ist und damit dass
selbe auf


\section*{1.5.7}
a) $f$ ist eine Bijektion falls eine invers Funktion $f^{-1}$ existiert.

$f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$ ist definiert f\"ur alle $b \in \mathbb{R}$ und f\"ur alle $a
\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$.

b) $\#[c,d] = \#[0,1]$ dann wenn eine Bijektion von $[c,d]$ auf $[0,1]$ existiert. Die ist leicht
mit der Funktion aus a) mit $a=\frac{1}{d-c},b=-c$ gefunden.

c) Da f\"ur jedes i: $\#[c_i, d_i] = \#[0,1]$, wenn $c_i < d_i$, gilt auch
$\#[c_1, d_1] = \#[0,1] = \#[c_2,d_2]$.

d) Die Folge die alle Zahlen im Interval [0,1] umfasst ist:

\begin{eqnarray*}
f_0 = 1       \\
f_1 = \frac{1}{2} \\
f_{2n} = f_n - (\frac{1}{2})^{n+1} \\
f_{2n+1} = f_n + (\frac{1}{2})^{n+1} \\
\end{eqnarray*}

Die Folge die alle Zahlen im Interval [0,1) umfasst ist:

\begin{eqnarray*}
g_0 = \frac{1}{2} \\
g_{2(n+1)} = g_(n+1) - (\frac{1}{2})^{n+2} \\
g_{2(n+1)} = g_(n+1) + (\frac{1}{2})^{n+2}
\end{eqnarray*}

Die gesuchte Bijektion, die $\#[0,1] = \#[0,1)$ beweisst ist
$B =\{(f_n,g_n) | n \in \mathbb{N}\}$.

\section*{2.1.1}

$\alpha$: kommutative Halbgruppe.

$\gamma$: kommutative Gruppe

$\delta$: kommutativer Monoid

$\zeta$: uga

\section*{2.1.3}

a)

\begin{tabular}{l|l}
& 1 \\
\hline
1 & 1
\end{tabular}

\begin{tabular}{l|ll}
& 12 & 21 \\
\hline
12 & 12 & 21 \\
21 & 21 & 12 \\
\end{tabular}

b) Die Permutationen $(2143), (4321), (3412)$ erf\"ullen $f \circ f = id_{\{1,2,3,4\}}$.
Gemeinsam mit der Identit\"at sind die Permutationen Untergruppen von $S_4$ da die
Identit\"at das neutrale Element ist und alle Elemente zu sich selbst das inverse.

\section*{2.1.7}

a)
\begin{eqnarray*}
x = (c * d)         \\
a * (b * (c * d)) = \\
a * (b * x) =       \\
(a * b) * x =       \\
(a * b) * (c * d)
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
y = (b*c) \\
a * (b * (c * d)) = \\
a * ((b * c) *d =  \\
a * (y * d) = \\
(a * y) * d =    \\
(a * (b*c)) *d  = \\
((a * b) * c) * d$
\end{eqnarray*}


b) FIXME

\section*{2.1.9}
Assoziativ: an den eigenschaften der funktion \"andert sich nichts. FIXME

Existenz eines neutralen elements: Laut Satz 2.3 gibt es nur ein neutrales Element.
Da f\"ur alle Untergruppen die Bedingung aufrecht ist, dass in Ihnen das neutrales Element
enthalten ist, muss in der Vereinigung all diese Mengen dieses Element auch enthalten sein.

Existenz eines inverse Elements: Da es zu jedem Element in der Menge der Mengenfamilie ein
Inverselement gibt, muss die Folge auch zwingend

\section*{2.1.11}
a)
$z \in \mathbb{C}: |z| = \sqrt{a^2+b^2}$

Assoziativ:

Existenz des neutrales Elements: $(1,0)$
\footnote{ (a,b)(c,d)=(a,b) impliziert das Gleichungssystem $ac - bd = a, ad + bc = b$}
ist enthalten da $1=\sqrt(1^2 + b^2)$

Existenz eines inversen Elements: Es ist zu zeigen dass es ein c,d gibt f\"ur das
unter der Voraussetzung $1=\sqrt{a^2+b^2}$,n $(a,b)(c,d) = (1,0)$ und $1=\sqrt{c^2+d^2}$ gilt.

L\"osung des Gleichungssytem $ac - bd = 1, ad + bc = 0$ nach c,d:

\begin{eqnarray*}
c = \frac{a}{a^2+b^2} \\
d = \frac{-b}{a^2+b^2}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
1 = \sqrt{(\frac{a}{a^2+b^2})^2 +(\frac{-b}{a^2+b^2})^2} \\
1 = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2} \\
1 = \sqrt{\frac{1}{a^2+b^2} \\
1 = \frac{1}{a^2+b^2} \\
a^2+b^2 = 1 \\
\sqrt{a^2+b^2} = 1
\end{eqnarray*}

b) $\langle i \rangle = \{ a^i | i \in \mathbb{Z} \} $

F\"ur ein beliebiges $a + bi = (a,b)$ gilt:

\begin{eqnarray*}
(a,b)(a,b) = (a^2 - b^2, 2ab)
\end{eqnarray*}

Der absolut Betrag von $(a^2 - b^2, 2ab)$ lautet $\sqrt{(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2}$ und dass das
f\"ur alle a, b in U liegt beweisst:

\begin{eqnarray*}
1 = \sqrt{(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2} \\
1 = \sqrt{a^4+b^4 - 2a^2b^2 + 4a^2b^2} \\
1 = \sqrt{a^4+b^4 + 2a^2b^2} \\
1 = \sqrt{(a^2 + b^2)^2} \\
1 = a^2 + b^2 \\
1 = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{eqnarray*}

c) Ja diese Aussage gilt analog dazu auch f\"ur $\mathbb{R}$. Allerdings enth\"alt ist
die Untergruppe trivial mit $e$.
\end{document}